参考书：Vladimir Turaev, Alexis Virelizier. Monoidal Categories and Topological Field Theory.
本次课程主要介绍了范畴，函子，自然变换以及 monoidal 范畴 \((\mathcal{C},\mathbf{1},\otimes,a,r,l)\) 对应的概念，引入了图计算的概念，证明了 \(\mathrm{End}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1})\) 是含幺交换半群。
在 monoidal 范畴 \(\mathcal{C}\) 中，引入 Pairing 的定义，由此给出左右对偶的概念，定义了左(右)rigid 范畴，左(右)对偶函子。当左(右)对偶函子一致时，引入 pivotal 范畴的概念，并给出了 pivotal 范畴中图计算的一些记号，证明了 \(\psi_X:X\to X^{**}\) 是同构。
证明了 \(\psi_X:X\to X^{**}\) 是 \(\mathbf{1}_{\mathcal{C}}\) 到双对偶函子 \(?^{**}\) 的 monoidal 自然同构。针对 \[ S=((X_1,\varepsilon_1),(X_2,\varepsilon_2),\cdots,(X_n,\varepsilon_n)) \] 定义 \(ev_S\) 和 \(coev_S\)。引入了同构 \(\Psi_X:X_S\to(X_{S^*})^*\)。证明了任意 \(f:X_S\to X_T\) 自然诱导的两个 \(X_{T^*}\to X_{S^*}\) 是一致的。引入了左右迹，左右维数的概念，证明了一些关于左右迹的性质。当左右迹一致时，定义了 spherical 范畴。
给出了 braided 范畴的定义，证明一些图等式。引入任意 \(X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\) 的左右 twist，当其相等时，定义了 ribbon 范畴。对于配备左对偶的对称范畴，通过一些构造使其成为 ribbon 范畴。
设 \(\mathbb{k}\) 为含幺交换环，\(\mathrm{Mod}_{\mathbb{k}}\) 为 \(\mathbb{k}\)-模范畴，其为 monoidal 范畴。我们讨论了其上 Pairing 什么时候是可逆的。在自由模的情况可以通过矩阵的逆构造 Pairing 的逆。最后我们介绍了 \(\mathbb{k}\)-范畴和一些概念：direct sum，zero object，simple object 及其性质。